【每日算法Day 64】LeetCode 861. 翻转矩阵后的得分

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题目描述

有一个二维矩阵 $A$ 其中每个元素的值为 $0$ 或 $1$。

移动是指选择任一行或列，并转换该行或列中的每一个值：将所有 $0$ 都更改为 $1$，将所有 $1$ 都更改为 $0$。

在做出任意次数的移动后，将该矩阵的每一行都按照二进制数来解释，矩阵的得分就是这些数字的总和。

返回尽可能高的分数。

示例1

输入：
[[0,0,1,1],[1,0,1,0],[1,1,0,0]]
输出：
39
解释：
转换为 [[1,1,1,1],[1,0,0,1],[1,1,1,1]]
0b1111 + 0b1001 + 0b1111 = 15 + 9 + 15 = 39

提示

• $1 \le A.length \le 20$
• $1 \le A[0].length \le 20$
• $A[i][j]$ 是 $0$ 或 $1$

题解

首先我们要明确一个显而易见的事实：

• 每一行、每一列要么不翻转，要么翻转一次，再多是等价的，没有意义。

二进制枚举

因为行列数最多 $20$ ，所以我们可以枚举每一行的翻转状态（$0$：不翻转，$1$：翻转）。

然后对于每一列，我们只需要看不翻转的 $1$ 多，还是翻转后 $1$ 多就行了。

这样的时间复杂度是 $O(2^{R}C)$，极限情况下是 $2e^7$ 左右，还是可能会超时的。

贪心

再仔细观察，我们可以发现要想最终和最大，第一列必须全为 $1$ 。

证明很简单，对于任意一行，如果它的第一位是 $1$ ，那么这一位的二进制数值就是 $2^{C-1}$ 。反之如果这一位是 $0$ ，那么即使后面所有位全为 $1$ ，总数值也只能达到 $2^{C-1}-1$ 。所以第一位是一定要为 $1$ 的。

这样就很简单了，每一行的翻转情况其实是确定的。如果第一位是 $1$ ，就不翻转，否则就翻转。

然后每一列还是看不翻转的 $1$ 多，还是翻转后 $1$ 多。

这样的时间复杂度只有 $O(RC)$ 。

那么可能有人会问：为啥不把每行第一位全翻转为 $0$ ，然后翻转第一列使得每行第一位全 $1$ 呢？其实这样是等价的，完全就相当于将之前的方法倒转过来（翻转不翻转操作颠倒）。

代码

c++

class Solution {
public:
    int matrixScore(vector<vector<int>>& A) {
        int n = A.size(), m = A[0].size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (A[i][0]) continue;
            for (int j = 0; j < m; ++j) {
                A[i][j] ^= 1;
            }
        }
        int res = (1<<(m-1)) * n;
        for (int j = 1; j < m; ++j) {
            int cnt = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                cnt += A[i][j];
            }
            cnt = max(cnt, n-cnt);
            res += (1<<(m-1-j)) * cnt;
        }
        return res;
    }
};