Stern-Brocot树

我们接着上节课讲到的Stern-Brocot树继续往下讲。

LR序列表示

对于任意分数$\frac{a}{b}$，我们从$\frac{1}{1}$开始走到它所在的结点。如果向左走就记为L，向右走记为R，最终可以得到一个L和R的序列。例如$\frac{5}{7}$的表示就是LRRL。

这种表示产生了两个问题：

给定满足正整数$m$和$n$互素的分数$\frac{m}{n}$，它所对应的LR序列是什么？
给定LR序列，它所表示的分数是什么？

第二个问题看起来更好解决一点，我们先解决第二个问题。
我们定义
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例如
<!–swig7–>
如果用代码实现的话，对于每个L或者R，如果是L，那么就把右边界设为中间值，如果是R，那么就把左边界设为中间值。

但是如何用数学式子来表达这一过程呢？

我们建立一个2阶方阵：
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表示$f(S)$的两个祖先分数$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$

那么初始状态就可以表示为
<!–swig12–>

如果遇到了向左符号L，那么

<!–swig13–>

如果遇到了向右符号R，那么
<!–swig14–>
所以我们将L和R定义成2阶方阵就行了：
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所以
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所以LRRL表示的分数为
<!–swig17–>
那么第一个问题如何解决呢？
同样可以用类似二叉搜索的方法来求出LR序列，也可以用矩阵的方法来求解，根据上面的L和R的方阵，可以发现：
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对于L也有类似的性质，所以我们得到了如下的求解算法：

如果$m > n$，输出R，令$m = m - n$。
如果$m < n$，输出L，令$n = n - m$。

无理数近似表示

虽然说无理数不在Stern-Brocot树中，但是我们可以找到无限逼近它的分数。

方法仍然使用二叉搜索，不同的是，搜索过程不会终止，除非得到了我们想要的精度或者我们人为终止。

值得一提的是，无理数$e$的LR表示很有规律性：
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最后值得一提的是，欧几里得算法和有理数的Stern-Brocot树表示有密切的关系。给定$\alpha = \frac{m}{n}$，根据之前的算法，它的LR表达式首先是$\left\lfloor {m/n} \right\rfloor $个R，然后是$\left\lfloor {n/(m\bmod n)} \right\rfloor $个L，依次下去，这些系数恰好就是求最大公因数的时候用到的系数。

同余关系

同余定义为：
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读作“a关于模m与b同余”，我们只讨论都是整数的情况。

同样可以写作：
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同余是等价关系，满足自反律、对称律、传递律，即：
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如果我们对同余两边的元素加减乘，同余仍然满足：
<!–swig31–>
因此可以得到
<!–swig32–>

然而对于除法同余并不总是成立，一些特殊条件下可能成立。
如果
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当$d,m$互素的时候，我们可以得到
<!–swig35–>
同样
<!–swig36–>
更一般的情况下，我们有
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还有许多性质我就直接列举了，不做证明了，证明很简单：
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其中$m = \prod\nolimits_p { {p^{ {m_p}}}} $是$m$的素因子分解。
第三条性质是中国剩余定理的特例，今后我们再做证明。