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首先庆祝我自己顺利毕业了，忙完了毕业论文答辩一直在浪，所以上周的具体数学没有更新，现在补更一下，大家见谅。
首先这节课讲的基本都是组合数的相关性质，而且特别多，所以我就不在这里详细证明了，如果你们对某一个性质感兴趣，可以自己证明去。
性质1
首先将组合数推广到负数域，也就是底数为负数的情况：
<!–swig0–>
证明可以从下降阶乘幂的定义直接得到。
性质2
由于
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所以由性质1可得
<!–swig2–>
性质3
<!–swig3–>
这就说明了杨辉三角同一行的前面若干项交错和是可以求得的，但是它们的直接和是无法求出的。
性质4
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证明可以通过令
<!–swig5–>
将左边表示成递归式的形式，同理如果右边可以表示成相同的递归式，那么左右就相等了。
性质4看起来特别复杂，那么它有什么用呢？如果令$x$和$y$等于不同的值，那么就可以得到许多不同的恒等式。
性质5
令$x = - 1,y = 1$可以得到
<!–swig9–>
这其实就是性质3的特例。
性质6
令$x = y = 1,r = m + 1$可以得到
<!–swig11–>
左边就是杨辉三角一行中左边一半的和，所以可以得到
<!–swig12–>
性质7
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这个公式可以形象理解为，从$r$个物品中取$m$个，再从这$m$个中取$k$个的方法数等于从$r$个物品中取$k$个，再从剩下的$r-k$个中取$m-k$个的方法数。证明的话直接用定义可证。
性质8
之前介绍了二项式系数，那么可以推广到任意$m$个未知数，它的展开式为
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其中
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性质9
范德蒙德卷积式：
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很多公式都可以通过替换其中的一些变量推导得到：
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例题1
最后详细求解一道组合题，其他的题目就不介绍了，可以去看具体数学英文版第173页。
求下面式子的闭形式解：
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根据性质7，可以得到
<!–swig28–>
所以
<!–swig29–>
而
<!–swig30–>
所以
<!–swig31–>
