4.

题目：
通过上指标翻转计算出$\left( {\begin{array}{\*{20}{c}}{ - 1}\\k\end{array}} \right)$。
解答：
如果$k \ge 0$，那么
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如果$k<0$，那么
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46.

题目：
求出下列和式的闭形式解，其中$n$是正整数。
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解答：
由公式$(5.69)$可得
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两式相乘得到${\mathcal{B}_{ - 1}}(z){\mathcal{B}_{ - 1}}( - z)$，其中$z^{2n}$项的系数恰好就是
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所以题目所求的和式的闭形式解就是${\mathcal{B}_{ - 1}}(z){\mathcal{B}_{ - 1}}( - z)$的$z^{2n}$项的系数的相反数。
由公式$(5.69)$还可以得到
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所以
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展开化简可以得到
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而
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所以题目答案即${\mathcal{B}_{ - 1}}(z){\mathcal{B}_{ - 1}}( - z)$的$z^{2n}$项的系数的相反数为
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64.

题目：
计算
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解答：
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65.

题目：
证明
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解答：
等号左边可以写为
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替换$k$为$n-1-k$，得到
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即证
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等式两边同时乘以$n^{n-1}$，即证
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等式左边等于
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得证。