关注公众号【算法码上来】，每日算法干货马上就来！
题目描述
如果一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的字符串，是以一些 ‘0’（可能没有 ‘0’）后面跟着一些 ‘1’（也可能没有 ‘1’）的形式组成的，那么该字符串是单调递增的。
我们给出一个由字符 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的字符串 S，我们可以将任何 ‘0’ 翻转为 ‘1’ 或者将 ‘1’ 翻转为 ‘0’。
返回使 S 单调递增的最小翻转次数。
示例1
输入：
"00110"
输出：
1
解释：
我们翻转最后一位得到 00111.示例2
输入：
"010110"
输出：
2
解释：
我们翻转得到 011111，或者是 000111。示例3
输入：
"00011000"
输出：
2
解释：
我们翻转得到 00000000。提示
- 1 <= S.length <= 20000
- S 中只包含字符 ‘0’ 和 ‘1’
题解
要想把字符串变成递增的，只有两种可能，一种就是从某一处开始全是 1 ，之前都是 0 或者没有，另一种就是全 0 。那么我们只需要遍历这个 1 开始的位置就行了。
对于位置 i ，我们假设从它开始后面都是 1 ，前面都是 0 ，那么需要修改的的次数就是它后面 0 的数量减去它前面 1 的数量。
如果我们用数组预处理出来位置 i 开始到最后 1 的数量，记为 $dp[i]$ 。那么它后面 0 的数量就可以表示为 $n - i - dp[i]$ ，也就是后面的长度减去 1 的数量。而它前面 1 的数量可以表示为 $dp[0] - dp[i]$ ，也就是 1 的总数量减去 i 后面 1 的数量。
那么总的修改次数就是 $n - i - dp[i] + dp[0] - dp[i]$ ，我们只需要遍历所有的 i ，找出最小值就行了。
另外还需要比较一下 $dp[0]$ 的大小，也就是把所有的 1 都修改为 0 。
最终时间复杂度是 $O(n)$ ，空间复杂度也是 $O(n)$ 。
代码
c++
class Solution {
public:
int minFlipsMonoIncr(string S) {
int n = S.size();
int dp[n+1];
dp[n] = 0;
for (int i = n-1; i >= 0; --i) {
dp[i] = dp[i+1] + (S[i] == '1');
}
int res = dp[0];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
res = min(res, dp[0]-dp[i]+n-i-dp[i]);
}
return res;
}
};python
class Solution:
def minFlipsMonoIncr(self, S: str) -> int:
n = len(S)
dp = [0] * (n+1)
for i in range(n-1, -1, -1):
dp[i] = dp[i+1] + (1 if S[i]=='1' else 0)
res = dp[0]
for i in range(n):
res = min(res, dp[0]-dp[i]+n-i-dp[i])
return res
