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题目描述
通常，正整数 n 的阶乘是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。例如，factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1。
相反，我们设计了一个笨阶乘 clumsy：在整数的递减序列中，我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符：乘法(*)，除法(/)，加法(+)和减法(-)。
例如，clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1。然而，这些运算仍然使用通常的算术运算顺序：我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤，并且按从左到右处理乘法和除法步骤。
另外，我们使用的除法是地板除法（floor division），所以 10 * 9 / 8 等于 11。这保证结果是一个整数。
实现上面定义的笨函数：给定一个整数 N，它返回 N 的笨阶乘。
示例1
输入：
4
输出：
7
解释：
7 = 4 * 3 / 2 + 1示例2
输入：
10
输出：
12
解释：
12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1提示
- $1 \le N \le 10000$
- $-2^{31} \le answer \le 2^{31} - 1$ （答案保证符合 32 位整数。）
题解
笨方法我就不写了，按照运算顺序模拟一遍，数量比较少的话，应该也不会超时。
这道题可以用简单的数学计算来优化一下，首先笨阶乘数学形式是下面这样的：
$$
clumsy(n) = \left\lfloor\frac{n(n-1)}{n-2}\right\rfloor + (n-3) - \left\lfloor\frac{(n-4)(n-5)}{n-6}\right\rfloor + \cdots
$$
好像看不出什么东西，那么我们先去掉取整符号看看：
$$
\left\lfloor\frac{n(n-1)}{n-2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{(n-2)(n-2)+3(n-2)+2}{n-2}\right\rfloor = \left\lfloor n+1+\frac{2}{n-2}\right\rfloor
$$
所以当 $n \ge 5$ 时，取整符号可以直接去掉：
$$
\left\lfloor\frac{n(n-1)}{n-2}\right\rfloor = n + 1
$$
所以我们就讨论 $n \ge 5$ 时的情况，笨函数可以写成：
$$
clumsy(n) = n+1 + n-3 - (n-3) + \cdots = n+1 + d(n)
$$
也就是第一个取整（$3$ 项）结果是 $n+1$ ，而后面每 $4$ 项结果是 0 ，最后还剩余不足 $4$ 项的结果 $d(n)$ 。
那么 $d(n)$ 的取值有 $4$ 种情况：
- $n \% 4 = 0$ ，也就是最后剩余 $1$ 项时，$d(n) = 1$ 。
- $n \% 4 = 1$ ，也就是最后剩余 $2$ 项时，$d(n) = 2 - 1 = 1$ 。
- $n \% 4 = 2$ ，也就是最后剩余 $3$ 项时，$d(n) = 3 - 2 \times 1 = 1$ 。
- $n \% 4 = 3$ ，也就是最后剩余 $0$ 项时，$d(n) = 0$ 。
但是考虑到取整函数只有在 $n \ge 5$ 时才等于 $n+1$ ，也就是最后剩余的项数大于 $2$ 时才行。那么上面的 $4$ 种情况的 $1、4$ 两种，就要特殊处理一下前一个取整结果：
- $n \% 4 = 0$ ，也就是最后剩余 $1$ 项时，$d(n) = 5 - 4 \times 3 / 2 + 1 = 0$ 。
- $n \% 4 = 1$ ，也就是最后剩余 $2$ 项时，$d(n) = 2 - 1 = 1$ 。
- $n \% 4 = 2$ ，也就是最后剩余 $3$ 项时，$d(n) = 3 - 2 \times 1 = 1$ 。
- $n \% 4 = 3$ ，也就是最后剩余 $0$ 项时，$d(n) = 4 - 3 \times 2 / 1 = -2$ 。
综上，$n < 5$ 时的结果直接算出来就行了，$n \ge 5$ 时结果就是 $n+1+d(n)$ 。
代码
c++
class Solution {
public:
int clumsy(int N) {
int q = N & 3;
int a[5] = {0, 1, 2, 6, 7};
int d[4] = {1, 2, 2, -1};
return N>=5 ? N+d[q] : a[N];
}
};python
class Solution:
def clumsy(self, N: int) -> int:
q = N & 3
a = [0, 1, 2, 6, 7]
d = [1, 2, 2, -1]
return N+d[q] if N>=5 else a[N]
