模型量化是模型加速方向一个很重要的方法，主要思想就是用int8数据格式来存储和进行计算。这样做有两点好处：
- 可以减小模型存储的体积。原本float32存储需要4个字节，现在int8存储只需要1个字节，体积是原来的1/4。
- 可以加快计算速度。这主要是因为int8数据的读写更快，并且int8矩阵乘法一般来说会更快一点。
以现在最常用的Transformer模型来举例，在使用CUDA推理加速库（例如LightSeq）之后，矩阵乘法的占比高达将近90%。所以优化非矩阵乘法的速度意义不是很大了，占比不高，你算得再快对整体的提速也很小，因此可以尝试优化矩阵乘法。
那么我们考虑浮点数矩阵乘法$C = AB$，如何将它转化为整数矩阵乘法，并且得到几乎相同的乘法结果呢？
用整数矩阵来表示浮点数矩阵
首先我们需要将一个浮点数矩阵$A$用整数矩阵$A_I$来表示。我们假设$A$的数值范围在$[-c_1, c_1]$之间，其实这个假设是合理的，例如一般深度学习模型参数初始化都是正态分布，那么数值范围就在$[-1, 1]$之间。然后整数矩阵$A_I$的数值范围其实就是有符号整数的表示范围$[-128， 127]$，为了实现的简单，我们只量化到$[-127, 127]$，这样就和$A$一样关于零点左右对称了。我们令$s = 127$，用来表示int8的数值范围，如果$s = 15$，那就是int4的范围了。
接着整数矩阵$A_I$就可以表示为$A_I = int(\frac{s}{c_1}A)$，也就是将浮点数区间$[-c_1, c_1]$里的数字等比例映射到整数区间$[-s, s]$，然后向最近的整数取整。同理，整数矩阵$B_I$可以表示为$B_I = int(\frac{s}{c_2}B)$。
这样我们就可以得到两个浮点数矩阵的整数表示，接下来就可以利用他们来进行整数矩阵乘法的转换。
转化为整数矩阵乘法
整数矩阵$A_I$还原为浮点数很简单，只需要$A = \frac{c_1}{s}A_I$即可。但是注意$A_I$是取过整的，所以还原回去的$A$并不完全等于原始的$A$，是有误差的。举个通俗的例子，两个浮点数0.1和0.101经过量化都变成了整数13，但是还原回浮点数后全都变成了0.102，再也没法区分两个浮点数有什么不同了。
所以回到原始的问题，浮点数矩阵乘法$C = AB$可以改写为$C = \frac{c_1}{s}A_I \frac{c_2}{s}B_I$，也就是$C = \frac{c_1c_2}{s^2}A_I B_I$。
那么就可以先计算整数矩阵乘法$A_I B_I$，然后得到整数的输出矩阵之后，乘上系数$\frac{c_1c_2}{s^2}$，还原为浮点数矩阵。
注意输入矩阵$A_I$和$B_I$都是int8的，但是乘法结果$A_I B_I$一定是int32的。
总结一下流程
- 输入两个浮点数矩阵$A$和$B$，先分别转化为各自的整数矩阵$A_I = int(\frac{s}{c_1}A)$和$B_I = int(\frac{s}{c_2}B)$。
- 然后计算整数矩阵乘法结果$A_I B_I$。
- 最后乘上系数还原为浮点数的乘法结果$C = \frac{c_1c_2}{s^2}A_I B_I$。
进阶（relu激活函数）
熟悉Transformer的同学应该知道，FFN第二层输入分别是relu的结果$A$和参数$B$。那么这里就存在一个问题，relu结果的数值范围是$[0, c_1]$，而不可能是$[-c_1, c_1]$。
如果我们强行还按照$[-c_1, c_1]$的范围来量化relu结果$A$的话会怎么样呢？这样会导致整数区间$[-127, 0)$永远不会有数字，因为根本没有负数浮点数的存在。这样就白白浪费了127个整数，就会导致量化的精度大大受损。
那按照$[0, c_1]$来量化的话，怎么计算整数矩阵乘法的结果呢？
稍稍推导一下就可以得出，$A$可以表示为$A = \frac{c_1}{2s}(A_I + s \textbf{1})$，其中$\textbf{1}$表示和$A$相同形状的全1矩阵。而$B$的话依然表示为$B = \frac{c_2}{s}B_I$。
这样矩阵乘法可以改写为$C = \frac{c_1c_2}{2s^2}A_I B_I + \frac{c_1c_2}{2s}\textbf{1}B_I$。其中第二项因子可以用$B = \frac{c_2}{s}B_I$来进一步简化，最终得到$C = \frac{c_1c_2}{2s^2}A_I B_I + \frac{c_1}{2}\textbf{1}B$。
第一项因子和之前一样，先算整数矩阵乘法$A_I B_I$，再乘上系数，只不过系数变成了$\frac{c_1c_2}{2s^2}$。
第二项因子$\textbf{1}B$的维度和$C$相同，并且它的矩阵元素等于$B$中同一列的元素之和。那么问题就很简单了，我们只需要提前计算出矩阵$B$每一列的元素和，再乘上系数$\frac{c_1}{2}$，结果存下来。最后在计算完$\frac{c_1c_2}{2s^2}A_I B_I$整数矩阵乘法结果之后，加上这个列元素之和就行了，你可以将其理解为残差项。
总结
如果矩阵乘法两个输入的范围都是关于零点对称的，那么计算公式为：
量化：
$$A_I = int(\frac{s}{c_1}A), B_I = int(\frac{s}{c_2}B)$$
反量化：
$$C = \frac{c_1c_2}{s^2}A_I B_I$$
如果矩阵乘法其中一个输入是relu的结果，那么计算公式为：
量化：
$$A_I = int(\frac{2s}{c_1}(A - s \textbf{1})), B_I = int(\frac{s}{c_2}B)$$
反量化：
$$C = \frac{c_1c_2}{2s^2}A_I B_I + \frac{c_1}{2}\textbf{1}B$$
当然还有很多其他情况，例如softmax的输出范围一定是$[0, 1]$，那么attention中的矩阵乘法公式还得改写。
此外为了减小量化的损失，还需要在模型结构中插入伪量化节点，然后进行量化感知训练（QAT）。接着还需要将finetune后的模型存储为int8格式。然后还需要开发加载int8模型的推理加速库代码。最后就是本文讲到的整数矩阵乘法了。整个流程比较繁琐，这部分内容今后我会慢慢给大家分享。网上关于量化的优秀教程非常多，我不会讲太多理论上的量化知识，只会从实践的角度来白话一下我们在Transformer模型量化过程中做的一些尝试。
