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题3
题目
求$\left\lfloor {nx} \right\rfloor = n\left\lfloor x \right\rfloor $的充要条件。
解答
因为
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所以
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要使得$\left\lfloor {nx} \right\rfloor = n\left\lfloor x \right\rfloor$，就必须有
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所以
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即
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题7
题目
求下列递推式
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解答
因为
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所以
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题8
题目
$n$个物品放到$m$个盒子中，求证至少有一个盒子物品数大于等于$\left\lceil {\frac{n}{m}} \right\rceil$，至少有一个盒子物品数小于等于$\left\lfloor {\frac{n}{m}} \right\rfloor$。解答
假设所有的盒子物品数都小于$\left\lceil {\frac{n}{m}} \right\rceil$，那么总物品数$S$满足
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令$n = qm + r,0 \le r < m$，那么有
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如果$r=0$，那么有
<!–swig20–>
如果$r>0$，那么有
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这与$S=n$矛盾！所以至少有一个盒子物品数大于等于$\left\lceil {\frac{n}{m}} \right\rceil$。
假设所有的盒子物品数都大于$\left\lfloor {\frac{n}{m}} \right\rfloor$，那么总物品数$S$满足
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令$n = qm + r,0 \le r < m$，那么有
<!–swig29–>
这与$S=n$矛盾！所以至少有一个盒子物品数小于等于$\left\lfloor {\frac{n}{m}} \right\rfloor$。
