每日算法系列【LeetCode 1250】检查「好数组」

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题目描述

给你一个正整数数组 nums ，你需要从中任选一些子集，然后将子集中每一个数乘以一个任意整数，并求出他们的和。

假如该和结果为 1 ，那么原数组就是一个「好数组」，则返回 True ；否则请返回 False 。

示例1

输入：
nums = [12,5,7,23]
输出：
true
解释：
挑选数字 5 和 7 。
5*3 + 7*(-2) = 1

示例2

输入：
nums = [29,6,10]
输出：
true
解释： 
挑选数字 29 , 6 和 10 。
29*1 + 6*(-3) + 10*(-1) = 1

示例3

输入：
nums = [3,6]
输出：
false

提示

• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i] <= 10^9

题解

这题名义上是困难难度，实际上只要知道一些数学知识，就非常的简单。

首先题目中要求挑选出一些数，然后给每个数分配整数系数，加权求和等于 1 。
仔细想一想就不对劲，全选不是一样嘛？有些数系数分配 0 就行了。

假设系数分别是 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ，那么问题就变成了求解下面的多元一次方程有整数解的条件：
$$
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = 1
$$
如果你数学基础不错的话，一眼就会发现条件就是所有非零数的最大公约数为 1 ：
$$
gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = 1, a_i \neq 0
$$

证明参见 n 个数的裴蜀定理

代码

class Solution {
public:
    bool isGoodArray(vector<int>& nums) {
        int x = nums[0], n = nums.size();
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (nums[i]) x = gcd(x, nums[i]);
        }
        return x == 1;
    }

    int gcd(int x, int y) {
        return x%y ? gcd(y, x%y) : y;
    }
};

后记

最后不管是用时还是空间消耗都超越了100%的用户。