性质1

首先在后面章节会证明，${(x + y)^{\underline{m}}}$的二项展开形式和普通的${(x + y)^m}$是一样的，这里提一下，暂时用不到。

性质2

接下来给出下降阶乘幂为负数的定义：
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性质3

和普通幂${x^{m + n}} = {x^m}{x^n}$不同，下降阶乘幂有如下性质：
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性质4

上一节课说到，定义下降阶乘幂的好处就是为了求差分方便，下降阶乘幂的差分为：
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反之，类比不定积分，它的不定和为：
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但是这里$m \ne - 1$，那要是$m = - 1$怎么办呢？
直接运用差分定义可以求出
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所以
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性质5

在微积分里面，$e^x$的导数是它自身。那么什么函数的差分是自身呢？
通过定义可以很容易算出来：
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进一步推广可以得到：
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所以得到如下一种新的等比数列计算方式：
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性质6

结合律和分配律在差分运算里也适用。
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性质7

类似分部积分，这里也可以分部来求差分。
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这里给出一个新的记号叫做移位运算：
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所以就得到了差分的分部运算法则：
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对两边求和，又可以得到不定求和的分部运算法则：
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这个分部法则非常有用，下面举两个例子来说明一下怎么用。

例1

一道老题，计算：
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首先计算
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在这里可以令
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所以
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那么求和式就可以转化为不定求和来算了：
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例2

计算
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首先计算
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这里注意要令
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不能倒过来哦，因为$H_x$的不定和很难求出来的。所以
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所以
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无限求和

回顾一下以前我们是怎么计算下面求和式的。
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首先两边同时乘2，得到：
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解出
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那么可不可以用同样的方法计算下面式子呢？
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两边同时乘2，得到：
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解出
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显然不可能，因为这里的$T$是发散的，所以不能这么求。那么如何用一般的方法来求解呢？

首先我们只考虑正数求和，求解$\sum\limits_{k \in K} { {a_k}} $，其中$K$是一个无限集合。
那么，如果存在$A$，使得对任意$F \subset K$，都有
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那么我们说这个最小的$A$就是$\sum\limits\_{k \in K} { {a_k}} $的结果。
如果不存在这么一个$A$，那么这个求和式就是发散的，即结果为正无穷。

一般使用中，对于$K = N$，我们可以令$F = \{ 0,1,2, \ldots ,n\} $
所以
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举两个例子，比如
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再如：
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剩下的问题就是如何求有正有负的和式？

可以考虑的方案就是用不同的配对，将正负组合在一起，从而相消求和。

但是不同的组合方式会得到不同的答案。就比如：
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有两种组合方式：
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和
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得到了两种不同的结果。

事实上，我们可以将正数和负数分开求和，因为正数求和我们已经解决了，所以我们定义：
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其中
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所以求和式可以分成两部分分别求和：
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最后推广到二重求和：
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这里也没啥好细说的，就先了解了解吧。