符号定义

向下取整函数$\left\lfloor x \right\rfloor $定义为小于等于$x$的最大整数。
向上取整函数$\left\lceil x \right\rceil $定义为大于等于$x$的最小整数。

$\{ x\} $定义为实数$x$的小数部分，即

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性质

性质1

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性质2

取整函数范围：
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性质3

负数的取整：
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性质4

取整函数中的整数可以提取出来：
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应用

应用1

证明：
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更一般的，我们还可以证明，对于任意连续、递增的函数$f(x)$，如果它满足
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那么有
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我们证明第2个式子，第1个同理可证。

如果$x = \left\lceil x \right\rceil $，显然成立。

否则$x < \left\lceil x \right\rceil $，因为$f(x)$递增，所以有
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两边同时取整，有
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要证左右两边相等，那么只要证
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不成立即可。假设上式成立，那么由中间值定理，一定存在$x \le y < \left\lceil x \right\rceil $，使得
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敲黑板！！这里是怎么来的呢？
由下图可以看出，当下面式子成立时，满足中间值定理
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但是在这里，我们假设是
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那么由$\left\lceil {f(x)} \right\rceil < \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil $能否推出$\left\lceil {f(x)} \right\rceil < f(\left\lceil x \right\rceil )$呢？当然是可以的。
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所以
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又因为$x \le y < \left\lceil x \right\rceil $，所以不存在整数$y$，矛盾！

所以证得
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另一个特殊的例子是
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其中$m$和$n$都是整数，并且$n$是正整数。

应用2

接着介绍区间相关的性质。

求1到1000中使得下列式子成立的$n$一共有多少个？
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求解方法如下：
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继续推广，求1到$N$中使得上面式子成立的$n$有多少个？
令
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也就是小于等于$\left\lfloor {\sqrt[3]{N}} \right\rfloor $的最大整数。
所以
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渐进地等于
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应用3

定义一个实数的谱为：
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很容易证明如果两个实数$\alpha \ne \beta $，那么
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假设$\alpha < \beta $，那么令
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所以

$m\beta \ge m\alpha + 1 \Rightarrow \left\lfloor {m\beta } \right\rfloor > \left\lfloor {m\alpha } \right\rfloor $

所以集合$Spec(\beta )$中小于$\left\lfloor {m\alpha } \right\rfloor $的元素个数小于$m$。而集合$Spec(\alpha )$中小于$\left\lfloor {m\alpha } \right\rfloor $的元素个数大于等于$m$。所以两个集合不相等。

谱有很多奇妙的性质，例如下面两个谱：
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可以发现，这两个谱正好划分了正整数集。
证明方法也很简单，只要证明对任意正整数$n$，两个集合中小于$n$的元素个数之和为$n$，过程如下：
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所以第一个集合中小于$n$的元素个数为
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同理第二个集合中小于$n$的元素个数为
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所以总个数为
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得证。